Александр Александрович родился в состоятельной дворянской семье в селе Рубежном (на границе Харьковской и Екатеринославской губернии). Получив престижное образование в Павловском кадетском корпусе, он имел возможность познакомиться с великосветской жизнью и завязать важные знакомства.

Во время своей службы молодой человек серьезно занимался фехтованием и выиграл в состязании на рапирах. Наблюдал за поединком император Александр II. Мастерство Насветевича произвело на него такое впечатление, что спустя некоторое время император взял его на службу при дворе — преподавать бой холодным оружием цесаревичу Александру. В 1875 году он становится флигель-адьютантом Его величества.

К этому времени Александр Александрович уже серьезно и талантливо занимается фотографией. Близость к императорской семье позволила ему получить разрешение фотографировать при дворе. Его сохранившиеся снимки были экспонированы на международных фотовыставках в Москве и Мюнхене в 1990 году.

Насветевич был очень предан родным краям и отдал часть своих владений и средств на строительство железной дороги Лисичанск-Харьков, которая, начав работу в 1905 году, была названа в его честь и до сих пор носит его имя — Насветевич.